Verschieben von Funktionen


\(\\\)

Funktionen können nach links oder rechts und nach oben oder unten verschoben werden. Wir betrachten nun dies bei ganzrationalen Funktionen, e-Funktionen und trigonometrischen Funktionen. Am Besten kann man die Verschiebung bei trigonometrischen Funktionen veranschaulichen.

\(\\[1em]\)

1. Verschieben von trigonometrischen Funktionen

Verschieben in x-Richtung von trigonometrischen Funktionen

Bei der allgemeinen Gleichung der trigonometrischen Funktionen

\( \quad f(x) \; = \; a \cdot sin \big( b \cdot (x - c) \big) + d \)

\(\\\)

ist der Parameter \(c\) verantwortlich für die Verschiebung des Graphen in \(x\)-Richtung.

my image

Dabei ist zu beachten, dass in der allgemeinen Gleichung \(x - c\) steht, was dann auch so notiert werden muss. Das heißt, dass bei einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts muss die verschobene Funktion

\( \quad f(x) \; = \; sin(x - 1) \)

\(\\\)

lauten und bei einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach links

\( \quad f(x) \; = \; sin\big(x - (-1)\big) \; = \; sin(x + 1) \)

\(\\[2em]\)

Verschieben in y-Richtung von trigonometrischen Funktionen

Verschieben wir weiter die obige Funktion zu einer Funktion \(g\) um 2 Einheiten nach oben,

my image

so entsteht nach der allgemeinen Gleichung, wobei der Parameter \(d\) die Höhenverschiebung angibt,

\(\quad f(x) \; = \; sin(x - 1) + 2 \)

\(\\[2em]\)

2. Verschieben von e-Funktionen

Eine gestreckte und gestauchte und verschobene \(e\)-Funktion ist allgemein von der Form

\( \quad f(x) \; = \; a \cdot e^{b \cdot (x - c)} +d \)

\(\\\)

Dabei geben \(c\) und \(d\) entsprechend der trigonometrischen Funktionen die Verschiebungen an.

\(e^x\) sei um \(0{,}5\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben verschoben.

my image

Aus den Verschiebungen ergibt sich die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung

\(\quad f(x) \; = \; e^{x - 0{,}5} +1 \)

\(\\[2em]\)

3. Verschieben von ganzrationalen Funktionen

Entsprechend der Verschiebung trigonometrischer Funktionen werden ganzrationale Funktionen verschoben.

Ganzrationale Funktionen können als die Summe von Potenzfunktionen aufgefasst werden.

Deren Verschiebung werden auf folgende Weise notiert:

\(\\[1em]\)

Seitliche Verschiebung von Potenzfunktionen

my image

Beachte:
Bei Verschiebung in x-Richtung müssen wir immer das umgekehrte Vorzeichen nehmen.

\(\\[2em]\)

Höhenverschiebung von Potenzfunktionen

my image

Hier ist für den roten Graphen jeder Punkt des blauen Graphen um 2 erhöht, auch wenn es auf dem ersten Blick nicht ganz so scheint.

\(\\[2em]\)

Verschiebung von Polynomen

Die Verschiebung wird nun angewendet auf ein Polynom, zusammengesetzt aus mehreren Potenzfunktionen, mit beispielsweise einer Funktion \(f\) ,

\( \quad f(x) \; = \; 0{,}25x^3 - 1{,}5x^2 + 0{,}75x + 2{,}5 \)

\(\\\)

die um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1{,}5\) Einheiten nach oben versetzt wird.

my image

Es ergibt sich eine Funktion \(g\) mit

\( \quad g(x) \; = \; 0{,}25 \cdot (x-2)^3 - 1{,}5 \cdot (x-2)^2 + 0{,}75 \cdot (x-2) + 4 \)

\(\\\)

Beachte: Jeder \(x\)-Wert erhält die gleiche Verschiebung.

\(\\[1em]\)